函数的简单基本性质及相关题型与参考课件节选
点“考研竞赛数学”↑可每天“涨姿势”哦!
研究一个函数时,首先必须分析函数的以下基本性质:
1、定义域、值域
2、函数的四个基本性质
(1)有界性
定义 设D为f(x)的定义域,I是D的子集,如果对于I中的任一点,存在M,使得f(x)≤M,则称函数f(x)在I上有上界;如果存在m,使得m≤f(x),则称函数f(x)在I上有下界.若函数f(x)在I上既有上界也有下界,则称f(x)在I上有界,或称f(x)为I上的有界函数.
●性质 函数f(x)在I上有界的充分必要条件是:存在正常数M,当x∈I时,恒有|f(x)|≤M.
●函数f(x)在I上有界的几何解释:函数y=f(x)(x∈I)的图形位于两平行线y=M和y=-M之间.
●证明函数f(x)在I上有界,就是能够找到一个M,对于任一x∈I,满足|f(x)|≤M.
(2)单调性
定义 设函数f(x)在区间I上有定义.若对于I中任意两点x1和x2,当x1<x2时,恒有
f(x1)≤f(x2)( f(x1)≥f(x2))
则称f(x)在区间I上为单调增加(减少)的.若将大于等于号(小于等于号)换成大于号(小于号),则称函数为严格单调增加(减少)的.
●证明函数单调性的基本方法是定义法,即任取x1<x2,判定f(x1),f(x2)的大小关系,一般采用相减或者相除的方法来判定.
●严格单调函数为一一映射,函数在严格单调区间上存在反函数.
(3)奇偶性
定义 设函数的定义域D关于原点对称,若对D中任何点x有
f(-x)=f(x)(f(-x)=-f(x))
则称f(x)为D上的偶(奇)函数.
●证明函数的奇偶性采取的方法是直接比较f(-x)与f(x)的关系,如果两者相等,则为偶函数,如果两者的和等于0,则为奇函数.
●在几何上,偶函数的图形关于y轴对称,奇函数的图形关于原点对称.
(4)周期性
定义 设函数f(x)在R上有定义,若存在正常数T,使对任意x∈R,恒有:f(x+T)=f(x),则称f(x)为周期函数,T为f(x)的周期.
●周期函数有无穷多个周期.若T为f(x)的周期,则对于任何n∈N,nT也为f(x)的周期.
●在周期函数f(x)的所有周期中,若存在最小正数T,则称T为f(x)的最小正周期,或称为基本周期.并不是所有周期函数都有最小正周期,如常值函数,狄利克雷函数等.
●证明函数为周期函数就是要求能够找到一个正数T,使得对于任意x∈R,恒有:f(x+T)=f(x)成立.
【注】在研究反函数相关的问题时,注意函数y=f(x)的反函数为x=f-1(y).
3、基于函数的基本性质,通过特殊取点,描绘函数图形的草图
部分参考课件:
微信公众号:考研竞赛数学(ID: xwmath) 大学数学公共基础课程分享交流平台!阅完请分享o!
↓↓↓点阅读原文查看所有文章列表